【題目】已知，.

（1）當時，求函數(shù)圖象在處的切線方程；

（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

(1)利用導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)圖象在處的切線方程為.（2）

先求導得，再對a分類討論得到的取值范圍.(3對a分類討論，結(jié)合極大值小于極小值求出的取值范圍.

解：（1）當時，，，則.

又因為，所以函數(shù)圖象在處的切線方程為，

即.

（2）因為

所以 ，

且.因為，所以.

①當時，即，

因為在區(qū)間上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.

當時，，

所以滿足條件.

②當時，即時，

由，得，

當時，，則在上單調(diào)遞減，

所以時，，這與時，恒成立矛盾.

所以不滿足條件.

綜上，的取值范圍為.

（3）①當時，

因為在區(qū)間上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

所以不存在極值，所以不滿足條件.

②當時，，所以函數(shù)的定義域為，

由，得，

列表如下：

↗

極大值

↘

極小值

↗

由于在是單調(diào)減函數(shù)，此時極大值大于極小值，不合題意，

所以不滿足條件.

③當時，由，得.

列表如下：

↘

極小值

↗

此時僅存在極小值，不合題意，

所以不滿足條件.

④當時，函數(shù)的定義域為，

且，.

列表如下：

↗

極大值

↘

↘

極小值

↗

所以存在極大值和極小值，

此時

因為，

所以，，，，

所以，即，

所以滿足條件.

綜上，所以的取值范圍為.

練習冊系列答案
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