Question

8．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的準線與x軸交于M，過點M作⊙C：（x-2）²+y²=1的兩條切線，切點為A，B，|AB|=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$．
（1）求拋物線E的方程；
（2）過拋物線E上一點N作⊙C的兩條切線，切點分別為P，Q，若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，求點N的坐標及|PQ|長度．

Answer 1

分析 （1）設AB與x軸交于點R，求出|AR|，|CR|，即可求拋物線E的方程；
（2）求出圓D，C的方程，兩圓相減，可得直線PQ的方程，利用直線PQ經過點O，即可求點N的坐標及|PQ|長度．

解答 解：（1）由已知得M（-$\frac{p}{2}$，0），C（2，0）．
設AB與x軸交于點R，
由圓的對稱性可知，|AR|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
于是|CR|=$\frac{1}{3}$
所以|CM|=$\frac{|AC|}{sin∠AMC}$=$\frac{|AC|}{sin∠CAR}$=3，
即2+$\frac{p}{2}$=3，p=2．
故拋物線E的方程為y²=4x．
（2）設N（s，t）．
P，Q是NC為直徑的圓D與圓C的兩交點．
圓D方程為（x-$\frac{s+2}{2}$）²+（y-$\frac{t}{2}$）²=$\frac{（s-2）^{2}+{t}^{2}}{4}$，
即x²+y²-（s+2）x-ty+2s=0．①
又圓C方程為x²+y²-4x+3=0．②
②-①得（s-2）x+ty+3-2s=0．③
P，Q兩點坐標是方程①和②的解，也是方程③的解，從而③為直線PQ的方程．
因為直線PQ經過點O，所以3-2s=0，s=$\frac{3}{2}$．
故點N坐標為（$\frac{3}{2}$，$±\sqrt{6}$），
PQ的方程為-$\frac{1}{2}$x$±\sqrt{6}$y=0，|PQ|=$\frac{2\sqrt{21}}{5}$．

點評 本題考查拋物線的方程，考查圓的方程，考查兩圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，求得PQ的方程是關鍵．