Question

已知f(x)=sinωx(sinωx+

3

cosωx)-

1

2

，(x∈R，ω＞0)，若f(x)的最小正周期為2π．
（I）求f（x）的表達(dá)式和f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）求f(x)在區(qū)間[-

π

6

，

5π

6

]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和與差的正弦將f（x）=sinωx（sinωx+

3

cosωx）-

1

2

化簡為f（x）=sin（2ωx-

π

3

），由其最小正周期為2π，可求得ω，從而可求f（x）的表達(dá)式；由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II））由-

π

6

≤x≤

5π

6

-可求得

π

3

≤x-

π

6

≤

2π

3

，由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得其最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=sinωx（sinωx+

3

cosωx）-

1

2

=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx-

π

3

）…3′
又f（x）的周期為2π，2π=

2π

2ω

⇒ω=

1

2

，…4′
∴f（x）=sin（x-

π

6

）…5′
由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）⇒2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

（k∈Z），
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z），…7′
（2）∵-

π

6

≤x≤

5π

6

，
∴-

π

3

≤x-

π

6

≤

2π

3

，…8′
∴當(dāng)x-

π

6

=

π

2

，即x=

2π

3

時，f（x）_max=1；
當(dāng)x-

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

6

時，f（x）_min=-

3

2

，…12′
∴當(dāng)x=

2π

3

時，f（x）_max=1；當(dāng)x=-

π

6

時，f（x）_min=-

3

2

…13

點評：本題考查兩角和與差的正弦，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性與最值，求得f（x）的解析式是關(guān)鍵，屬于中檔題．