Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|，a∈R．
（1）若a=1，解不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$（x+1）；
（2）記函數(shù)g（x）=f（x）-|x-2|的值域?yàn)锳，若A⊆[-1，3]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入f（x），通過討論x的范圍求出各個區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；（2）通過討論a的范圍，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=|x-1|≥$\frac{1}{2}$（x+1），
x≥1時：x-1≥$\frac{1}{2}$（x+1），解得：x≥3，
x＜1時：1-x≥$\frac{1}{2}$（x+1），解得：x≤$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集是{x|x≥3或x≤$\frac{1}{3}$}；
（2）g（x）=|x-a|-|x-2|，
a≥2時：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-a，x≥a}\\{a+2-2x，2＜x＜a}\\{a-2，x≤2}\end{array}\right.$，
∴2-a≤g（x）≤a-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-a≥-1}\\{a-2≤3}\end{array}\right.$，解得2≤a≤3；
a＜2時：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-a，x≥2}\\{2x-a-2，a＜x＜2}\\{a-2，x≤a}\end{array}\right.$，
∴a-2≤g（x）≤2-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2≥-1}\\{2-a≤3}\end{array}\right.$，解得：1≤a＜2；
綜上：a∈[1，3]．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．