Question

有4個不同的球，四個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．
（1）共有多少種放法？
（2）恰有一個盒內(nèi)不放球，有多少種放法？
（3）恰有一個盒內(nèi)有2個球，有多少種放法？
（4）恰有兩個盒內(nèi)不放球，有多少種放法？

Answer 1

解：（1）一個球一個球地放到盒子里去，每只球都有4種獨(dú)立的放法，由分步乘法計數(shù)原理，放法共有：4⁴=256（種）．…（3分）
（2）為保證“恰有一個盒內(nèi)不放球”，先選一個盒子，有種方法；再將4個球分成2，1，1三組，有種分法，然后全排列，由分步乘法計數(shù)原理，共有種放法；．…（6分）
（3）“恰有一個盒內(nèi)有2個球”，即另外的三個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，即另外三個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有一個盒子放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事，共有種放法；．…（9分）
（4）先從四個盒子中任意拿走兩個，有種方法．然后問題轉(zhuǎn)化為：“4個球，兩個盒子，每個盒子必放球，有幾種放法？”從放球數(shù)目看，可分為3，1和2，2兩類：
第一類：可從4個球中先選3個，然后放入指定的一個盒子中即可，有種放法；
第二類：有種放法．
由分步計數(shù)原理得“恰有兩個盒子不放球”的放法有放法．…（12分）
分析：（1）一個球一個球地放到盒子里去，每只球都有4種獨(dú)立的放法，由分步乘法計數(shù)原理，可得結(jié)論；
（2）為保證“恰有一個盒內(nèi)不放球”，先選一個盒子，再將4個球分成2，1，1三組，然后全排列，由分步乘法計數(shù)原理，可得結(jié)論；
（3）“恰有一個盒子放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事，由此可得結(jié)論；
（4）先從四個盒子中任意拿走兩個，有種方法．然后問題轉(zhuǎn)化為：“4個球，兩個盒子，每個盒子必放球，有幾種放法？”從放球數(shù)目，進(jìn)行分類討論，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查排列組合知識，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，屬于中檔題．