Question

3．在（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的二項式中，所有的二項式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項等于112．

Answer 1

分析 根據(jù)展開式中所有二項式系數(shù)的和等于2ⁿ=256，求得 n=8．在展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項．

解答 解：∵在（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的二項式中，所有的二項式系數(shù)之和為256，
∴2ⁿ=256，解得n=8，
∴（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）⁸中，T_r+1=${C}_{8}^{r}（\root{3}{x}）^{8-r}（-\frac{2}{x}）^{r}$=$（-2）^{r}{C}_{8}^{r}{x}^{\frac{8-4r}{3}}$，
∴當(dāng)$\frac{8-4r}{3}$=0，即r=2時，常數(shù)項為T₃=（-2）²${C}_{8}^{2}$=112．
故答案為：112．

點(diǎn)評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．