如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱BC的中點(diǎn).在正方體表面ABB1A1上是否存在點(diǎn)N,使D1N⊥平面B1AE?請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):直線與平面垂直的性質(zhì)
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:建立坐標(biāo)系,求出平面B1AE的一個(gè)法向量,觀察能否找到N點(diǎn)使
D1N
與法向量共線即可.
解答: 解:建立坐標(biāo)系D-xyz,則A(2,0,0),B1(2,2,2),E(1,2,0),D1(0,0,2),設(shè)N(2,b,c)
所以
AE
=(-1,2,0),
AB1
=(0,2,2),
D1N
=(2,b,c-2)
設(shè)平面B1AE的一個(gè)法向量為
n
=(x,y,z),所以
AE
n
=0
AB1
n
=0
,即
-x+2y=0
2y+2z=0
,取y=1,得平面B1AE的一個(gè)法向量
n
=(2,1,-1),
假設(shè)在正方體表面ABB1A1上存在點(diǎn)N,使D1N⊥平面B1AE,則
D1N
n
,所以b=2-c,取c=1則b=1,
所以假設(shè)正確,在正方體表面ABB1A1上存在點(diǎn)N,使D1N⊥平面B1AE.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用空間向量求平面的法向量,借助于向量垂直的性質(zhì)解答,體現(xiàn)了向量的工具性.
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1
3
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5
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π
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B、
1
4
C、
1
2
D、
1
8

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1
2
x-
π
4
).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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