Question

已知函數(shù)y=3sin（

1

2

x-

π

4

）．
（1）用五點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象；
（2）說(shuō)明此函數(shù)是由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎么樣的變化得到的？
（3）求此函數(shù)的振幅，周期和初相；
（4）求此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程，對(duì)稱中心．

Answer 1

考點(diǎn)：五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）用五點(diǎn)法求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可在坐標(biāo)系中作出函數(shù)一個(gè)周期的圖象；
（2）方法一：由圖象的變換規(guī)則知此函數(shù)是由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)先右移四個(gè)單位再將再所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后再將每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的三倍而等到的．
方法二：先把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），；再把所得圖象上所有的點(diǎn)向右平移

π

2

個(gè)單位，最后將y所得到的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)=3sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象．
（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求此函數(shù)的振幅、周期和初相；
（4）結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程、對(duì)稱中心．

解答： 解  （1）列表：

x	π 2	3π 2	5π 2	7π 2	9π 2
1 2 x- π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
3sin（ 1 2 x- π 4 ）	0	3	0	-3	0

描點(diǎn)、連線，如圖所示：
（2）方法一：“先平移，后伸縮”．
先把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平移

π

4

個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（x-

π

4

）的圖象；再把y=sin（x-

π

4

）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象；最后將y=sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)=3sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象．
方法二：“先伸縮，后平移”．
先把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin（

1

2

x）的圖象；再把y=sin（x）圖象上所有的點(diǎn)向右平移

π

2

個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin

1

2

（x-

π

2

）=sin（

x

2

）的圖象；最后將y=sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)=3sin（

1

2

x-

π

4

）的圖象．
（3）周期T=

2π

ω

=

2π

1 2

=4π，振幅A=3，初相是-

π

4

．
（4）令

1

2

x-

π

4

=

π

2

+kπ（k∈Z），
得x=2kπ+

3

2

π（k∈Z），此為對(duì)稱軸方程．
令

1

2

x-

π

4

=kπ（k∈Z）得x=

π

2

+2kπ（k∈Z）．
對(duì)稱中心為（2kπ+

π

2

，0）（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握五點(diǎn)作圖法，以及熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)，屬于中檔題．