Question

5．已知橢圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosβ}\\{y=2sinβ}\end{array}\right.$（β為參數(shù)），P為橢圓上一點，則點P與定點A（1，0）之間距離的最小值是$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 點P與定點A（1，0）之間距離d=$\sqrt{（3cosβ-1）^{2}+（2sinβ）^{2}}$=$\sqrt{5（cosβ-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$，即可得出．

解答 解：點P與定點A（1，0）之間距離d=$\sqrt{（3cosβ-1）^{2}+（2sinβ）^{2}}$=$\sqrt{5co{s}^{2}β-6cosβ+5}$=$\sqrt{5（cosβ-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$≥$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)$cosβ=\frac{3}{5}$，sin$β=±\frac{4}{5}$時取等號．
∴點P與定點A（1，0）之間距離的最小值是$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)求值、橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．