Question

16．已知O是邊長(zhǎng)為1正四面體ABCD內(nèi)切球的球心，且$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$+z$\overrightarrow{AD}$（x，y，z∈R），則x+y+z=$\frac{3}{4}$．$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正四面體的性質(zhì)求出棱錐的高，根據(jù)等體積法求出內(nèi)切球的半徑，建立坐標(biāo)系，求出各向量的坐標(biāo)，代入坐標(biāo)運(yùn)算即可解出．

解答 解：設(shè)正四面體的高為AM，延長(zhǎng)DM交BC于E，則E為BC的中點(diǎn)．
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DM=$\frac{2}{3}DE$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則V_A-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AM$=4×$\frac{1}{3}×$S_△BCD•r．
∴r=$\frac{AM}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．∴OM=$\frac{\sqrt{6}}{12}$
以M為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系M-xyz，
則A（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，0），C（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，0），D（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），O（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{12}$）．
∴$\overrightarrow{AO}$=（0，0，-$\frac{\sqrt{6}}{4}$），$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），$\overrightarrow{AD}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）．
∵$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$+z$\overrightarrow{AD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{6}x-\frac{\sqrt{3}}{6}y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\\{-\frac{\sqrt{6}}{3}x-\frac{\sqrt{6}}{3}y-\frac{\sqrt{6}}{3}z=-\frac{\sqrt{6}}{4}}\end{array}\right.$，解得x=y=z=$\frac{1}{4}$．
∴x+y+z=$\frac{3}{4}$.$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．