Question

17．（1）證明y=f（g（x））的反函數(shù)為y=g^-1（f^-1（x））；
（2）F（x）=f（-x），G（x）=f^-1（x），若G（x）的反函數(shù)是F（x），證明f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）y=f（g（x））存在反函數(shù)，可得f^-1（y）=g（x），于是g^-1（f^-1（y））=x，把x與y互換即可得出．
（2）由F（x）=f（-x），可得：f^-1（x）=-y．由G（x）=f^-1（x），可得G^-1（x）=y=-f（x）．由于G（x）的反函數(shù)是F（x），可得-f（x）=f（-x）．即可證明．

解答 （1）證明：∵y=f（g（x））存在反函數(shù)，∴f^-1（y）=g（x），∴g^-1（f^-1（y））=x，把x與y互換可得：y=g^-1（f^-1（x）），
因此y=f（g（x））的反函數(shù)為y=g^-1（f^-1（x））；
（2）證明：由F（x）=f（-x），可得：f^-1（x）=-y．
∵G（x）=f^-1（x），∴G^-1（x）=y=-f（x）．
∵G（x）的反函數(shù)是F（x），
∴-f（x）=f（-x）．
∴f（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了互為反函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．