Question

1．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且$\sqrt{3}$cosC+sinC=$\frac{\sqrt{3}a}$．
（Ⅰ）求∠B的大��；
（Ⅱ）若a+c=5$\sqrt{7}$，b=7，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)兩角和差的正弦公式以及正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求∠B的大��；
（Ⅱ）由余弦定理可求|AB||BC|=42，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得解．

解答 解：（I）在△ABC中，∵$\sqrt{3}$cosC+sinC=$\frac{\sqrt{3}a}$，
∴$\sqrt{3}$cosC+sinC=$\frac{\sqrt{3}sinA}{sinB}$，
∴$\sqrt{3}$sinBcosC+sinBsinC=$\sqrt{3}$sin（B+C），
∴$\sqrt{3}$sinBcosC+sinBsinC=$\sqrt{3}$sinBcosC+$\sqrt{3}$cosBsinC，
∴由于sinC≠0，可得：sinB=$\sqrt{3}$cosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵B=$\frac{π}{3}$，a+c=5$\sqrt{7}$，b=7，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：49=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=175-3ac，
解得：ac=42，即|AB||BC|=42，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-|AB||BC|cosB=-42×$\frac{1}{2}$=-21．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，熟練掌握相關(guān)定理公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．