Question

14．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意的x∈D，都存在常數(shù)M≥0，使|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為f（x）的一個(gè)上界．已知$f（x）=lo{g_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}$
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{5}{3}，3}]$上的所有上界構(gòu)成的集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，得出f（-x）+f（x）=0，列出方程求出a的值；
（2）寫出a=-1時(shí)函數(shù)f（x）的解析式，判斷f（x）在區(qū)間$[{\frac{5}{3}，3}]$上為單調(diào)增函數(shù)，求出f（x）的值域，即可得出M的取值集合．

解答 解：（1）∵$f（x）=lo{g_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}$，且f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+ax}{-x-1}$+${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1{-（ax）}^{2}}{1{-x}^{2}}$=0，
解得a=±1；
當(dāng)a=1時(shí)，不合題意，舍去，
∴實(shí)數(shù)a的值是-1；
（2）∵a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+x}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+$\frac{2}{x-1}$）
∴f（x）在區(qū)間$[{\frac{5}{3}，3}]$上為單調(diào)增函數(shù)，
且f（$\frac{5}{3}$）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+$\frac{2}{\frac{5}{3}-1}$）=-2，
f（3）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+$\frac{2}{3-1}$）=-1，
∴-2≤f（x）≤-1，
∴|f（x）|≤2，
∴M≥2，
即所有上界構(gòu)成的集合為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)值域的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．