Question

13．已知f（x）=ax²-2x+2，a∈R
（1）已知h（10^x）=f（x）+x+1，求h（x）的解析式；
（2）若f（x）＞0在x∈[1，2]恒成立，求a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=|f（x）|，若對任意x₁，x₂∈[1，2]，且x₁≠x₂，滿足$\frac{{F（{x_1}）-F（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令10^x=t，得：x=lgt，從而求出h（x）的解析式即可；
（2）分離此時a，得到$a＞-{（\frac{1}{x}）^2}+\frac{2}{x}，x∈[1，2]$恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可；
（3）通過討論a的范圍求出F（x）的單調(diào)性，從而進一步確定a的范圍即可．

解答 解：（1）令10^x=t即x=lgt，由h（10^x）=ax²-x+3得h（t）=alg²t-lgt+3
即h（x）=alg²x-lgx+3
（2）由題意得：ax²-2x+2＞0即$a＞-{（\frac{1}{x}）^2}+\frac{2}{x}，x∈[1，2]$恒成立，
$-{（\frac{1}{x}）^2}+\frac{2}{x}=-2{（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{2}$，當(dāng)x=2時${[-{（\frac{1}{x}）^2}+\frac{2}{x}]_{max}}=\frac{1}{2}$，
所以a得取值范圍為$a＞\frac{1}{2}$
（3）由題意得F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]單調(diào)遞增，
①當(dāng)a＜0時，f（x）=ax²-2x+2，對稱軸為$x=\frac{1}{a}＜0$
又因為f（0）＞0且f（x）在x∈[1，2]單調(diào)遞減，且f（1）=a＜0，
所以F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]單調(diào)遞增．
②當(dāng)a=0時，f（x）=-2x+2，f（x）在x∈[1，2]單調(diào)遞減，且f（1）=0，
所以F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]單調(diào)遞增；
③當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{2}$時，f（x）=ax²-2x+2，對稱軸為$x=\frac{1}{a}∈[2，+∞）$，
所以f（x）在x∈[1，2]單調(diào)遞減，
要使F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]單調(diào)遞增．f（1）=a＜0不符合，舍去；
④當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜1$時，f（x）=ax²-2x+2，對稱軸為$x=\frac{1}{a}∈（1，2）$，
可知F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]不單調(diào)．
⑤當(dāng)a≥1時，f（x）=ax²-2x+2，對稱軸為$x=\frac{1}{a}∈（0，1]$
所以f（x）在x∈[1，2]單調(diào)遞增，f（1）=a＞0
要使F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]單調(diào)遞增．故a≥1；
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．