Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2x，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}}\right.$．
（Ⅰ）畫出f（x）的圖象（無需列表），并寫出函數(shù)的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0，a]，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2x，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}}\right.$的解析式，可得函數(shù)的圖象；數(shù)形結合，可得函數(shù)的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）數(shù)形結合，對a進行分類討論，可得x∈[0，a]時f（x）的最大值的表達式．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2x，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}}\right.$的圖象如下圖所示：

由圖可得：函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（-∞，0]和[1，+∞）；
（Ⅱ）若x∈[0，a]，
當a∈（0，1）時，f（x）_max=-a²+2a，
當a∈[1，+∞）時，f（x）_max=1，
綜上可得：f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}-{a}^{2}+2a，0＜a＜1\\ 1，a≥1\end{array}\right.$．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，數(shù)形結合思想，函數(shù)的單調區(qū)間與最值，難度中檔．