Question

15．已知P（t，3t），t∈R，M是圓O₁：（x+2）²+y²=$\frac{1}{4}$上的動(dòng)點(diǎn)，N是O₂：（x-4）²+y²=$\frac{1}{4}$上的動(dòng)點(diǎn)，則|PN|-|PM|的最大值是（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$+1
• B． $\frac{3\sqrt{5}}{5}-1$
• C． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$+1
• D． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，把求|PN||-|PM|的最大值轉(zhuǎn)化為|PO₁|-|PO₂|+1的最大值，再利用|PO₁|-|PO₂|=|PE′|-|PO₂|≤|E′O₂|=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，求出所求式子的最大值．

解答 解：圓O₁：（x+2）²+y²=$\frac{1}{4}$上的圓心O₁（-2，0），圓O₂：（x-4）²+y²=$\frac{1}{4}$的圓心O₂（4，0），這兩個(gè)圓的半徑都是$\frac{1}{2}$．
要使|PN||-|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值為|PO₁|+$\frac{1}{2}$，|PM|的最小值為|PO₂|-$\frac{1}{2}$，
故|PN||-|PM|最大值是|PO₁|-|PO₂|+1，
點(diǎn)P（t，3t）在直線y=3x上，O₁（-2，0）關(guān)于y=3x的對(duì)稱點(diǎn)E′（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
則|PO₁|-|PO₂|=|PE′|-|PO₂|≤|E′O₂|=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，故|PF|-|PE|+1的最大值為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$+1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是圓的方程的綜合應(yīng)用，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．