Question

3．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：$\sqrt{{{（x-a）}^2}+{{（y-b）}^2}}$可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M（x，y）與點(diǎn)N（a，b）的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得f（x）=$\sqrt{{x^2}+4x+20}$+$\sqrt{{x^2}+2x+10}$的最小值為5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 f（x）=$\sqrt{{x^2}+4x+20}$+$\sqrt{{x^2}+2x+10}$=$\sqrt{（x+2）^{2}+（0-4）^{2}}+\sqrt{（x+1）^{2}+（0+3）^{2}}$，表示平面上點(diǎn)M（x，0）與點(diǎn)N（-2，4），O（-1，-3）的距離和，利用兩點(diǎn)間的距離公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：f（x）=$\sqrt{{x^2}+4x+20}$+$\sqrt{{x^2}+2x+10}$=$\sqrt{（x+2）^{2}+（0-4）^{2}}+\sqrt{（x+1）^{2}+（0+3）^{2}}$，表示平面上點(diǎn)M（x，0）與點(diǎn)N（-2，4），O（-1，-3）的距離和，
∴f（x）=$\sqrt{{x^2}+4x+20}$+$\sqrt{{x^2}+2x+10}$的最小值為$\sqrt{（-2+1）^{2}+（4+3）^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．