Question

8．過拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，若A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，則弦長|AB|的值為（　�。�

• A． 8
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $\frac{13}{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 先求出A的坐標(biāo)，可得直線AB的方程，代入拋物線C：y²=4x，求出B的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義，即可求出|AB|．

解答 解：拋物線C：y²=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點(diǎn)F（1，0）．
設(shè)A（x，y），
∵A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，
∴|AF|=x+1=4，故x=3
代入拋物線C：y²=4x，可得A的縱坐標(biāo)為y=±$2\sqrt{3}$，
不妨設(shè)A（3，2$\sqrt{3}$），則k_AF=$\frac{2\sqrt{3}}{3-1}$=$\sqrt{3}$，
∴直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
代入拋物線C：y²=4x，可得3（x-1）²=4x，
即3x²-10x+3=0，
∴x=3或x=$\frac{1}{3}$，
∴B的橫坐標(biāo)為x=$\frac{1}{3}$，
∴B到拋物線的準(zhǔn)線的距離|BF|=$\frac{1}{3}$+1=$\frac{4}{3}$，
∴|AB|=4+$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，根據(jù)條件求出A，B的橫坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．