Question

如圖所示，直立在地面上的兩根鋼管AB和CD，AB=10

3

m，CD=3

3

m，現(xiàn)用鋼絲繩對(duì)這兩根鋼管進(jìn)行加固，有兩種方法：
（1）如圖（1）設(shè)兩根鋼管相距1m，在AB上取一點(diǎn)E，以C為支點(diǎn)將鋼絲繩拉直并固定在地面的F處，形成一個(gè)直線型的加固（圖中虛線所示）．則BE多長時(shí)鋼絲繩最短？
（2）如圖（2）設(shè)兩根鋼管相距3

3

m，在AB上取一點(diǎn)E，以C為支點(diǎn)將鋼絲繩拉直并固定在地面的F 處，再將鋼絲繩依次固定在D處、B處和E處，形成一個(gè)三角形型的加固（圖中虛線所示）．則BE 多長時(shí)鋼絲繩最短？

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)鋼絲繩長為ym，∠CFD=θ，
（1）y=

3 3 tanθ +1

cosθ

=

3 3

sinθ

+

1

cosθ

（其中0＜θ＜θ₀，tanθ₀=7），求導(dǎo)y′=

-3 3 cosθ

sin2θ

+

sinθ

cos2θ

，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值；
（2）y=(

3 3

sinθ

+

3 3

cosθ

)(1+cosθ+sinθ)（其中0＜θ＜θ₀，tanθ0=

12 3 -3 3

3 3

=3），求導(dǎo)y′=(

-3 3 cosθ

sin2θ

+

sinθ

cos2θ

)(1+sinθ+cosθ)+(

3 3

sinθ

+

3 3

cosθ

)(cosθ-sinθ)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．

解答： 解：（1）設(shè)鋼絲繩長為ym，∠CFD=θ，則
y=

3 3 tanθ +1

cosθ

=

3 3

sinθ

+

1

cosθ

（其中0＜θ＜θ₀，tanθ₀=7），
y′=

-3 3 cosθ

sin2θ

+

sinθ

cos2θ

，
易知y′=

-3 3 cosθ

sin2θ

+

sinθ

cos2θ

為（0，θ₀）上的增函數(shù)，
且當(dāng)tanθ=

3

時(shí)，y′=0；
故y=

3 3 tanθ +1

cosθ

=

3 3

sinθ

+

1

cosθ

在（0，θ₀）上先減后增，
故當(dāng)tanθ=

3

時(shí)，即BE=4

3

時(shí)，y_min=8；

（2）設(shè)鋼絲繩長為ym，∠CFD=θ，則
y=(

3 3

sinθ

+

3 3

cosθ

)(1+cosθ+sinθ)（其中0＜θ＜θ₀，tanθ0=

12 3 -3 3

3 3

=3），
y′=(

-3 3 cosθ

sin2θ

+

sinθ

cos2θ

)(1+sinθ+cosθ)+(

3 3

sinθ

+

3 3

cosθ

)(cosθ-sinθ)，
令y'=0得sinθ=cosθ，
當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，即BE=6

3

時(shí)，
ymin=6

3

(

2

+2)；
答：按方法（1），BE=4

3

米時(shí)，鋼絲繩最短；按方法（2），BE=6

3

米時(shí)，鋼絲繩最短．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．