Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2，橢圓C過點A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（I）求橢圓C的方程以及離心率；
（Ⅱ）若過點F₁的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，且點B坐標(biāo)為（2，0），求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）由題意可得c=1，將A代入橢圓方程，解得a，b，c，進而得到橢圓方程和離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my-1，代入橢圓方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運用韋達定理，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理，再由函數(shù)的最值求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（I）由題意可得2c=2，即c=1，
又C過點A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1，
又a²-b²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my-1，代入橢圓方程x²+2y²=2，
可得（2+m²）y²-2my-1=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
判別式為4m²+4（2+m²）＞0恒成立，
y₁+y₂=$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
即有$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$=（x₁-2，-y₁）•（x₂-2，-y₂）=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂
=（my₁-3）（my₂-3）+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂-3m（y₁+y₂）+9
=（1+m²）（-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$）-3m（$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$）+9=$\frac{17+2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$
=2+$\frac{13}{2+{m}^{2}}$，當(dāng)m=0，即l：x=-1時，
$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$取得最大值$\frac{17}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程和離心率的求法，注意運用點滿足橢圓方程，考查向量的數(shù)量積的最大值，注意設(shè)出直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．