Question

8．已知橢圓Σ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的焦距為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$P（2，\sqrt{2}）$．
（Ⅰ）求橢圓Σ的方程；
（Ⅱ）A、B是橢圓Σ上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線l經(jīng)過(guò)M（0，1），求△OAB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=2，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用橢圓的定義可得2a=4$\sqrt{2}$，即a=2$\sqrt{2}$，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=kx+m，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，求得O到直線AB的距離，依題意，|AM|=|BM|，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)可得k，m的等式，討論k=0，k≠0，運(yùn)用基本不等式和二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）依題意，2c=4，橢圓Σ的焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
由橢圓的定義可得2a=|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$+$\sqrt{（2-2）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$
=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
即有a=2$\sqrt{2}$，則b²=a²-c²=4，
則橢圓Σ的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$得，（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{2{k^2}+1}}$，
$|AB|=\sqrt{{k^2}+1}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{2\sqrt{{k^2}+1}\sqrt{16{k^2}+8-2{m^2}}}}{{2{k^2}+1}}$，
O到直線AB的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
△OAB的面積$S=\frac{1}{2}×|AB|×d=\frac{{\sqrt{2{m^2}（8{k^2}+4-{m^2}）}}}{{2{k^2}+1}}$，
依題意，|AM|=|BM|，即${x_1}^2+{（{y_1}-1）^2}={x_2}^2+{（{y_2}-1）^2}$，
即有（x₁-x₂）（x₁+x₂）+（y₁-y₂）（y₁+y₂-2）=0，
$（{x_1}+{x_2}）+\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}[k（{x_1}+{x_2}）+2m-2]=0$，
即為（k²+1）（x₁+x₂）+k（2m-2）=0，代入整理得，k（2k²+m+1）=0，
若k=0，則$S=\sqrt{2{m^2}（4-{m^2}）}≤2\sqrt{2}$，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)$m=-\sqrt{2}$時(shí)成立；
若k≠0，則2k²+m+1=0，$S=\sqrt{2（-4m-{m^2}）}≤2\sqrt{2}$，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)m=-2，$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)成立．
綜上所述，△OAB面積的最大值為$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義，考查三角形的面積的最值的求法，注意聯(lián)立直線方程與橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，同時(shí)考查基本不等式和二次函數(shù)的最值求法，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．