Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，其導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，判斷是否為的零點(diǎn)？并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （Ⅱ）不是，理由見解析

【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，對分分類討論，得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，得. 由，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，可得 ，兩式相減可得： ， 再.

則. 設(shè)，，令，. 研究函數(shù)在上是増 函數(shù)，得，可得證.

（Ⅰ）依題意知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且 ,

（1）當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，由得：，

則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).

所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng) 時(shí)， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）不是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn). 證明如下：

當(dāng)時(shí)，.

∵，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，

，兩式相減得：

即： ， 又.

則.

設(shè)，∵，∴，

令，.

又，∴，∴在上是増 函數(shù)，

則，即當(dāng)時(shí)，，從而，/span>

又所以，

故，所以不是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).