Question

5．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用前衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米與75微克/立方米之間的空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上的空氣質(zhì)量為超標(biāo)．為了解甲，乙兩座城市2016年的空氣質(zhì)量情況，從全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取20天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如以下莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）．
（Ⅰ）從甲，乙兩城市共采集的40個(gè)數(shù)據(jù)樣本中，從PM2.5日均值在[60，80]范圍內(nèi)隨機(jī)取2天數(shù)據(jù)，求取到2天的PM2.5均超標(biāo)的概率；
（Ⅱ）以這20天的PM2.5日均值數(shù)據(jù)來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，則甲，乙兩城市一年（按365天計(jì)算）中分別約有多少天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從甲，乙兩城市共采集的40個(gè)數(shù)據(jù)樣本中，PM2.5日均值在[60，80]范圍內(nèi)的數(shù)有6個(gè)；
利用列舉法求出從這6個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)的基本事件數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率；
（Ⅱ）分別計(jì)算甲、乙城市一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率，
由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率模型計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可．

解答 解：（Ⅰ）從甲，乙兩城市共采集的40個(gè)數(shù)據(jù)樣本中，PM2.5日均值在[60，80]范圍內(nèi)的數(shù)有
63，64，68，76，78，79共6個(gè)；
從這6個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，基本事件是
（63、64），（63、68），（63、76），（63、78），（63、79），
（64、68），（64、76），（64、78），（64、79），（68、76），
（68、78），（68、79），（76、78），（76、79），（78、79）共15個(gè)，
取到2天的PM2.5均超標(biāo)（大于75）的事件為
（76，78），（76，79），（78，79）共3個(gè)；
所求的概率為P=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$；
（Ⅱ）甲城市一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的有15個(gè)，概率為$\frac{3}{4}$，
由ξ～B（365，$\frac{3}{4}$）得，
Eξ=365×$\frac{3}{4}$≈274（天）；
乙城市一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的有16個(gè)，概率為$\frac{4}{5}$，
由η～B（365，$\frac{4}{5}$）得，
Eη=365×$\frac{4}{5}$=292（天）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了列舉法求概率的計(jì)算問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望求法問題，是基礎(chǔ)題目．