Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³+x+1，若對(duì)任意的x，都有f（x²+a）+f（ax）＞2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a＜4．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-1=x³+x，則函數(shù)是奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，f（x²+a）+f（ax）＞2，等價(jià)于g（x²+a）+g（ax）＞0，即可得出結(jié)論．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-1=x³+x，則函數(shù)是奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，
f（x²+a）+f（ax）＞2，等價(jià)于g（x²+a）+g（ax）＞0，
∴x²+a＞-ax，
∴x²+ax+a＞0，
∴△=a²-4a＜0
∴0＜a＜4，
故答案為0＜a＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、考查學(xué)生解不等式的能力，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．