設拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上. 設動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準線相交于點，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）證明：圓與軸必有公共點；
（3）在坐標平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由．
（1）  （2）見解析  （3）存在

試題分析：
（1）判斷拋物線的焦點位置，得到焦點坐標，利用中點坐標公式得到FA的中點坐標帶入拋物線即可求的P的值.
（2）直線與拋物線相切，聯(lián)立直線與拋物線，判別式為0即可得到k,m之間的關系，可以用k來替代m，得到P點的坐標，拋物線準線與直線的方程可得到Q點的坐標，利用中點坐標公式可得到PQ中點坐標，計算中點到x軸距離與圓半徑(PQ為直徑)的大小比較即可判斷圓與x軸的位置關系(點線距離小于或者等于半徑，即相交或者相切).
（3）由(2)可以得到PQ的坐標(用k表示)，根據(jù)拋物線對稱性知點在軸上，設點坐標為，則M點需滿足，即向量內(nèi)積為0，即可得到M點的坐標，M點的坐標如果為常數(shù)(不含k)，即存在這樣的定點，如若不然，則不存在.
試題解析：
（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點的坐標為，代入方程得，解得。                  2分
（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準線方程為     3分
由得方程，
由直線與拋物線相切，得                4分
且，從而，即，                   5分
由，解得，                     6分
∴的中點的坐標為
圓心到軸距離，
 
∵ 
所圓與軸總有公共點.           8分
(或 由, ,以線段為直徑的方程為:

令得
,所圓與軸總有公共點）.           9分
（3）假設平面內(nèi)存在定點滿足條件，由拋物線對稱性知點在軸上，
設點坐標為，             10分
由（2）知，
∴  。
由得，
所以，即或           13分
所以平面上存在定點，使得圓恒過點.            14分
證法二：由（2）知，，的中點的坐標為

所以圓的方程為           11分
整理得           12分
上式對任意均成立，
當且僅當，解得            13分
所以平面上存在定點，使得圓恒過點.            14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為2的正方形.
（1）求橢圓方程；
（2）若分別是橢圓長軸的左右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求·的取值范圍;
(3)若B點關于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.

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已知橢圓，直線是直線上的線段，且是橢圓上一點，求面積的最小值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓:的離心率,原點到過點,的直線的距離是.
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上一動點關于直線的對稱點為，求 的取值范圍；
（3）如果直線交橢圓于不同的兩點，，且，都在以為圓心的圓上，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關系，直線l：x－y＋＝0與以原點為圓心， 以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝4，證明：直線AB過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為,短軸端點分別為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若,是橢圓上關于軸對稱的兩個不同點，直線與軸交于點，判斷以線段為直徑的圓是否過點，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

對于曲線∶=1，給出下面四個命題：
（1）曲線不可能表示橢圓；
（2）若曲線表示焦點在x軸上的橢圓，則1＜＜；
（3）若曲線表示雙曲線，則＜1或＞4；
（4）當1＜＜4時曲線表示橢圓，其中正確的是（      ）
A．(2)(3)B．(1)(3)C．(2)(4)D．(3)(4)

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,設P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.
(1)求拋物線C的方程;
(2)當點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程;
(3)當點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值.

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