Question

13．如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2$\sqrt{3}$，BC=6．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PBD與平面BDA的夾角．

Answer 1

分析 （1）分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BD⊥平面PAC．
（2）求出平面BDP的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能求出平面PBD與平面BDA的夾角．

解答 證明：（1）∵在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
∴由題可知，AP、AD、AB兩兩垂直，
分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（2$\sqrt{3}$，6，0），D（0，2，0），P（0，0，3），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，3），$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{3}$，6，0），$\overrightarrow{BD}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}$=0，
∴BD⊥AP，BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
解：（2）設(shè)平面BDP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BD}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-2$\sqrt{3}$，0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-2\sqrt{3}x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2\sqrt{3}x+3z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，3，2$），
平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面PBD與平面BDA的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{16}}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°，
∴平面PBD與平面BDA的夾角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．