Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐 標(biāo) 系，曲 線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=4

2

．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P為曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）首先把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程
（2）利用直線和曲線沒(méi)有交點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離求的最值，中間涉及相關(guān)的三角函數(shù)知識(shí)

解答：解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程：

x2

3

+y2=1
曲 線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=4

2

轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程：x+y-8=0
（2）顯然直線和橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則橢圓上點(diǎn)P（

3

cosα，sinα）到直線的距離
d=

| 3 cosα+sinα-8|

2

=

|2sin(α+ π 3 )-8|

2

當(dāng)sin(α+

π

3

)=1時(shí)，dmin=3

2

  此時(shí)P（

3

2

，

1

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：，橢圓上的點(diǎn)到直線的距離，三角函數(shù)的最值及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．