Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓，它的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合,過直線上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若在橢圓上的點(diǎn)處的橢圓的切線方程是. 求證:直線恒過定點(diǎn)；并出求定點(diǎn)的坐標(biāo).

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？(點(diǎn)為直線恒過的定點(diǎn))若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）直線AB恒過定點(diǎn)。

（III）存在實(shí)數(shù)，使得。

【解析】

試題分析：（I）設(shè)橢圓方程為。拋物線的焦點(diǎn)是，故，又，所以，

所以所求的橢圓方程為            3分

（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,,直線上一點(diǎn)M的坐標(biāo)。

則切線方程分別為，。

又兩切線均過點(diǎn)M，即，即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程，

而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是，

顯然對任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)（1,0）都適合這個(gè)方程，故直線AB恒過定點(diǎn)。  6分

（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得

，即

所以       ..8分

不妨設(shè)

，同理  10分

所以

即。

故存在實(shí)數(shù)，使得。           12分

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，存在性問題研究。

點(diǎn)評：難題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。對于存在性問題，往往先假設(shè)存在，利用已知條件加以探究，以明確計(jì)算的合理性。本題（III）通過假設(shè)，利用韋達(dá)定理進(jìn)一步確定相等長度，求得了的值，達(dá)到證明目的。