Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），且在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)．若函數(shù)g（x）=f（x）-log₂x有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則f（x）的最大值為

log₂⁵

．

Answer 1

分析：確定函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，是以4為周期的周期函數(shù)，x=1、5是函數(shù)的對稱軸，且取得最大值，由此可得結(jié)論．

解答：解：∵f（x）在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，f（x）在R上是奇函數(shù)
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)
∵奇函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），∴f（2+x）=-f（x），∴f（4+x）=f（x）
∴函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
∵f（2-x）=f（x），∴x=1是函數(shù)的對稱軸，且取得最大值
∴x=5也是函數(shù)的對稱軸，且取得最大值
∵函數(shù)g（x）=f（x）-log₂x有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）的最大值為log₂⁵
故答案為：log₂⁵

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查函數(shù)的周期性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．