Question

15．已知四邊形ABCD為正方形，$\overline{BP}$=3$\overline{CP}$，AP與CD交于點(diǎn)E，若$\overline{PE}$=m$\overrightarrow{PC}$+n$\overline{PD}$，則m-n=（　�。�

• A． -$\frac{2}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 可以畫(huà)出圖形，根據(jù)條件$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CE}$，從而根據(jù)向量減法的幾何意義便可得到$\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PC}=3（\overrightarrow{PE}-\overrightarrow{PC}）$，這樣可以求出向量$\overrightarrow{PE}$，這樣根據(jù)平面向量基本定理便可得出m-n的值．

解答 解：如圖，
$\overrightarrow{BP}=3\overrightarrow{CP}$；
∴BP=3CP；
∴AB=3CE=CD；
∴$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CE}$；
∴$\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PC}=3（\overrightarrow{PE}-\overrightarrow{PC}）$；
∴∴$\overrightarrow{PE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PD}$
又$\overrightarrow{PE}=m\overrightarrow{PC}+n\overrightarrow{PD}$；
∴由平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{3}}\\{n=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$；
∴$m-n=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系，向量數(shù)乘、減法的幾何意義，以及向量數(shù)乘的運(yùn)算，平面向量基本定理．