Question

7．已知函數(shù)f（x）=log₂|x|．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性、單調(diào)性；（不必證明 ）
（3）畫出函數(shù)f（x）的圖象．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)的性質(zhì)得|x|＞0，由此有求出函數(shù)f（x）的定義域．
（2）由f（-x）=log₂|x|=log₂|-x|=log₂|x|=f（x），得到函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．當x＞0時，f（x）=log₂|x|=log₂x，當x＜0時，f（x）=log₂|x|=-log₂x，由此能判斷f（x）的單調(diào)性．
（3）當x＞0時，f（x）=log₂|x|=log₂x，當x＜0時，f（x）=log₂|x|=-log₂x，先作出x＞0時，f（x）=2^x的圖象，再由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y思對稱的性質(zhì)作出x＜0時，f（x）=log₂（-x）的圖象．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂|x|，
∴|x|＞0，解得x≠0．
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}．
（2）∵f（-x）=log₂|x|=log₂|-x|=log₂|x|=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
當x＞0時，f（x）=log₂|x|=log₂x，此時f（x）是增函數(shù)；
當x＜0時，f（x）=log₂|x|=-log₂x，此時f（x）是減函數(shù)．
（3）由（2）知當x＞0時，f（x）=log₂|x|=log₂x，
當x＜0時，f（x）=log₂|x|=-log₂x，
且x≠0，
∴先作出x＞0時，f（x）=2^x的圖象，
再由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y思對稱的性質(zhì)作出x＜0時，f（x）=log₂（-x）的圖象，
由此能畫出函數(shù)f（x）的圖象，如右圖所示．

點評 本題考查函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性質(zhì)的求法，考劃函數(shù)圖象的作法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．