Question

已知O為坐標原點，點A、B分別在x軸，y軸上運動，且|AB|=8，動點P滿足

AP

=

3

5

PB

，設(shè)點P的軌跡為曲線C，定點為M（4，0），直線PM交曲線C于另外一點Q．
（1）求曲線C的方程；
（2）求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先點的坐標，得到向量的坐標，代入

AP

=

3

5

PB

，求得坐標間的關(guān)系，再由|AB|=8求得曲線的軌跡方程．
（2）由（1）可知，M（4，0）為橢圓+=1的右焦點，設(shè)直線PM方程為x=my+4，再與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理求得|y_P-y_Q|，然后由S_△OPQ=

1

2

|OM||y_P-y_Q|建立函數(shù)模型求其最值．

解答：解：（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），P（x，y），
則

AP

=（x-a，y），

PB

=（-x，b-y），
∵

AP

=

3

5

PB

，∴

x-a=- 3 5 x y= 3 5 (b-y)

∴a=

8

5

x，b=

8

3

y．
又|AB|=

a2+b2

=8，∴

x2

25

+

y2

9

=1．
∴曲線C的方程為

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）由（1）可知，M（4，0）為橢圓的右焦點，
設(shè)直線PM方程為x=my+4，
由

x2 25  + y2 9 =1 x=my+4

消去x得
（9m²+25）y²+72my-81=0，
∴|y_P-y_Q|=

(72m)2+4×(9m2+25) × 81

9m2+25

=

90 m2+1

9m2+25

．
∴S_△OPQ=

1

2

|OM||y_P-y_Q|=2×

90 m2+1

9m2+25

=

20 m2+1

m2+ 25 9

=

20 m2+1

m2+1+ 16 9

=

20

m2+1  + 16 9 m2+1

≤

20

8 3

=

15

2

，
當

m2+1

=

16

9 m2+1

，
即m=±

7

3

時，△OPQ的面積取得最大值為

15

2

，
此時直線方程為3x±

7

y-12=0．

點評：本題主要考查軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及所構(gòu)造平面圖形面積的最大，最小等問題．