Question

【題目】折紙與數(shù)學有著千絲萬縷的聯(lián)系，吸引了人們的廣泛興趣．因紙的長寬比稱為白銀分割比例，故紙有一個白銀矩形的美稱．現(xiàn)有一張如圖1所示的紙，．

分別為的中點，將其按折痕折起（如圖2），使得四點重合，重合后的點記為，折得到一個如圖3所示的三棱錐．記為的中點，在中，為邊上的高．

（1）求證：平面；

（2）若分別是棱上的動點，且．當三棱錐的體積最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）通過證明，可得到平面ACD；

（2）因為且三棱錐的高為定值，所以當最大時，三棱錐的體積取得最大值，由此可確定M，N 兩點為AB，BC的中點，接著通過建立空間直角坐標系求解，可得到本題答案.

（1）連接．設，

則，翻折后的．

在中，，，為的中點，

∴．又∵在中，，

∴為的中點，∴．

∵平面，平面，

∴平面．

（2）∵且三棱錐的高為定值，

∴最大時，三棱錐的體積取得最大值．

設，所以

又∵為定值，∴當時，最大，即三棱錐的體積最大．此時分別是上的中點，

由（1）可得，，∴．

∵，，∴．

以為坐標原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，

則，

，

．

設平面的一個法向量為．

∴，∴

取，則，∴平面的一個法向量為．

設平面的一個法向量為．

∴，∴

取，則，

∴平面的一個法向量為．

則．

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．