Question

12．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個(gè)對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0），將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；
（2）求證：存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），使得f（x₀），g（x₀），f（x₀）•g（x₀）能按照某種順序成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由周期公式可得ω，ω＞0，再由對稱中心可得φ值，可得f（x）解析式，由函數(shù)圖象變換和誘導(dǎo)公式化簡可得；
（2）當(dāng)x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）時(shí)sinx＞cos2x＞sinx•cos2x，問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）內(nèi)是否有解，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω＞0，∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，
又曲線y=f（x）的一個(gè)對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0），φ∈（0，π），
∴sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=0，可得$φ=\frac{π}{2}$，∴f（x）=cos2x，
將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象，
再將y=cosx的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）的圖象，
由誘導(dǎo)公式化簡可得g（x）=sinx；
（2）當(dāng)x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）時(shí)，$\frac{1}{2}＜sinx＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$0＜cos2x＜\frac{1}{2}$，
∴sinx＞cos2x＞sinx•cos2x，
問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）內(nèi)是否有解．
設(shè)G（x）=sinx+sinx•cos2x-2cos2x，x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），
∵$G（\frac{π}{6}）=-\frac{1}{4}＜0$，$G（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}＞0$，且函數(shù)G（x）的圖象連續(xù)不斷，
∴函數(shù)G（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）內(nèi)存在零點(diǎn)x₀，
即存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），使得f（x₀），g（x₀），f（x₀）•g（x₀）能按照某種順序成等差數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)圖象變換，問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）內(nèi)是否有解是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．