已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+2bx2+cx+2在x=1處取得極值
4
3
．
（1）求b、c的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-t=0在區(qū)間[-3，
3
2
]上有實根，求實數(shù)t的取值范圍．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f(x)=
1
3
x3+2bx2+cx+2在x=1處取得極值
4
3
，建立方程組，即可求得b、c的值；
（2）關(guān)于x的方程f（x）-t=0在區(qū)間[-3，
3
2
]上有實根，即求數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，
3
2
]上的值域．由（1）得：f(x)=
1
3
x3-x+2，f′（x）=x2-1=（x+1）（x-1），確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，
3
2
]上的值域為[-4，
8
3
]，由此可得．
解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=x2+4bx+c
∵函數(shù)f(x)=
1
3
x3+2bx2+cx+2在x=1處取得極值
4
3
．
∴
f′(1)=1+2b+c=0
f(1)=
7
3
+2b+c=
4
3
，∴
b=0
c=-1

（2）由（1）得：f(x)=
1
3
x3-x+2，f′（x）=x2-1=（x+1）（x-1）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞1；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜1；
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，1）
∴函數(shù)在x=-1處，取得極大值為f(-1)=
8
3
；函數(shù)在x=1處，取得極小值為f(1)=
4
3

∵f(-3)=-4，f(
3
2
)=
13
8

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，
3
2
]上的值域為[-4，
8
3
]
關(guān)于x的方程f（x）-t=0在區(qū)間[-3，
3
2
]上有實根，則實數(shù)t的取值范圍是[-4，
8
3
]．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值與最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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