【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,以原點為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+2=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點P(0,1),Q(0,2).設M,N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點,直線PM與QN相交于點T,求證:點T在橢圓C上.
【答案】
(1)解:由題意,以原點為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+2=0相切,∴b= = .
因為離心率e= = ,所以 = ,所以a=2 .
所以橢圓C的方程為
(2)證明:由題意可設M,N的坐標分別為(x0,y0),(﹣x0,y0),則直線PM的方程為y= x+1,①
直線QN的方程為y= x+2. ②
設T(x,y),聯立①②解得x0= ,y0= .
因為 ,所以 ( )2+ ( )2=1.
整理得 =(2y﹣3)2,所以 ﹣12y+8=4y2﹣12y+9,即 .
所以點T坐標滿足橢圓C的方程,即點T在橢圓C上
【解析】(1)利用以原點為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+2=0相切,可得b的值,利用離心率為 ,即可求得橢圓C的方程;(2)設M,N的坐標分別為(x0 , y0),(﹣x0 , y0),求出直線PM、QN的方程,求得x0 , y0的值,代入橢圓方程,整理可得結論.
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程,掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:即可以解答此題.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某矩形花壇ABCD長AB=3m,寬AD=2m,現將此花壇在原有基礎上有拓展成三角形區(qū)域,AB、AD分別延長至E、F并使E、C、F三點共線.
(1)要使三角形AEF的面積大于16平方米,則AF的長應在什么范圍內?
(2)當AF的長度是多少時,三角形AEF的面積最?并求出最小面積.
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【題目】已知數列{an}中,a1=1,前n項和Sn= an .
(1)求a2 , a3 , 及{an}的通項公式.
(2)求{ }的前n項和Tn , 并證明:1≤Tn<2.
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【題目】在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點P是邊AB邊上異于AB的一點,光線從點P出發(fā),經BC,CA反射后又回到點P(如圖),若光線QR經過△ABC的重心,則AP等于( )
A.2
B.1
C.
D.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,△ABE為等腰直角三角形,∠BAE=90°,且AD⊥AE.
(1)證明:平面AEC⊥平面BED.
(2)求直線EC與平面BED所成角的正弦值.
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【題目】已知點為圓的圓心, 是圓上動點,點在圓的半徑上,且有點和上的點,滿足
(1)當在圓上運動時,求點的軌跡方程;
(2)若斜率為的直線與圓相切,與(1)中所求點的軌跡教育不同的兩點 是坐標原點,且時,求的取值范圍.
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【題目】已知M為△ABC的中線AD的中點,過點M的直線分別交兩邊AB、AC于點P、Q,設
=x , ,記y=f(x).
(1)求函數y=f(x)的表達式;
(2)設g(x)=x3+3a2x+2a,x∈[0,1].若對任意x1∈[ ,1],總存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求實數a的取值范圍.
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