【題目】已知M為△ABC的中線AD的中點(diǎn),過點(diǎn)M的直線分別交兩邊AB、AC于點(diǎn)P、Q,設(shè)
=x , ,記y=f(x).

(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式;
(2)設(shè)g(x)=x3+3a2x+2a,x∈[0,1].若對(duì)任意x1∈[ ,1],總存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵過點(diǎn)M的直線分別交兩邊AB、AC于P、Q,

∴0<x≤1,0<y≤1

又∵ =x , =y

= = + )= +

又∵P、M、Q三點(diǎn)共線,

+ =1,

∴y=f(x)=

,

≤x≤1,

∴y=f(x)= ,x∈[ ,1]


(2)解:∵f(x)= = + 在[ ,1]內(nèi)是減函數(shù),

∴[f(x)]min=f(1)= ,[f(x)]max=f( )=1,

即函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇 ,1]

∵g'(x)=3x2+3a2≥0,

∴g(x)在[0,1]內(nèi)是增函數(shù),

∴[g(x)]min=g(0)=2a,[g(x)]max=g(1)=3a2+2a+1,

∴g(x)的值域?yàn)閇2a,3a2+2a+1]

由題設(shè)得[ ,1][2a,3a2+2a+1],

解得a的取值范圍是(﹣∞,﹣ ]∪[0, ]


【解析】(1)表示出向量AM,根據(jù)P、M、Q三點(diǎn)共線,得到關(guān)于x,y的等式,解出y即f(x)的解析式;(2)分別根據(jù)f(x),g(x)的單調(diào)性,求出f(x),g(x)的值域,結(jié)合集合的包含關(guān)系得到關(guān)于a的不等式組,解出即可.
【考點(diǎn)精析】掌握平面向量的基本定理及其意義是解答本題的根本,需要知道如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使

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(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P(0,1),Q(0,2).設(shè)M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn),直線PM與QN相交于點(diǎn)T,求證:點(diǎn)T在橢圓C上.

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A.1
B.2
C.3
D.4

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(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率;
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A.e>
B.1<e<
C.e>
D.1<e<

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A.
B.(﹣∞,3]
C.(﹣∞,6]
D.

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