Question

18．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=lg（2+x）-lg（-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及定義域；
（2）解不等式f（x）＜1；
（3）判斷并證明f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）可令t=x+1，則x=t-1，代入可得f（t），即f（x）的解析式；再由對數(shù)的真數(shù)大于0，可得函數(shù)的定義域；
（2）運用對數(shù)的運算性質和對數(shù)函數(shù)的單調性，可得不等式，解不等式可得解集；
（3）f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．由單調性定義，分設值、作差、變形和定符號、下結論，注意運用對數(shù)函數(shù)的性質，即可得證．

解答 解：（1）f（x+1）=lg（2+x）-lg（-x），
可令t=x+1，則x=t-1，可得f（t）=lg（1+t）-lg（1-t），
即有f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），
由1+x＞0且1-x＞0，解得-1＜x＜1，
則函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）；
（2）由f（x）＜1即lg（1+x）-lg（1-x）＜1，
即為lg（1+x）＜lg10（1-x），
可得0＜1+x＜10（1-x），
解得-1＜x＜$\frac{9}{11}$，
則不等式的解集為（-1，$\frac{9}{11}$）；
（3）證明：f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．
理由：設-1＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=lg（1+m）-lg（1-m）-[lg（1+n）-lg（1-n）]
=lg$\frac{1+m}{1-m}$-lg$\frac{1+n}{1-n}$=lg$\frac{1+m}{1-m}$•$\frac{1-n}{1+n}$=lg$\frac{1+m}{1+n}$•$\frac{1-n}{1-m}$，
由于-1＜m＜n＜1，可得1-m＞1-n＞0，1+n＞1+m＞0，
可得0＜$\frac{1+m}{1+n}$＜1，0＜$\frac{1-n}{1-m}$＜1，
則0＜$\frac{1+m}{1+n}$•$\frac{1-n}{1-m}$＜1，
即有l(wèi)g$\frac{1+m}{1+n}$•$\frac{1-n}{1-m}$＜0，
則f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n），
故f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運用換元法，考查不等式的解法，注意運用對數(shù)函數(shù)的單調性，同時考查運用定義法證明函數(shù)的單調性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．