Question

3．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為${F_1}，{F_2}，{a^2}+{b^2}=4$，短軸端點(diǎn)B與兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形面積最大時(shí)，橢圓的短半軸長(zhǎng)為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 a²+b²=4，即2b²+c²=4，利用基本不等式的性質(zhì)可得bc≤$\sqrt{2}$，進(jìn)而得出答案．

解答 解：∵a²+b²=4，∴2b²+c²=4≥2$\sqrt{2^{2}•{c}^{2}}$，化為：bc≤$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)c=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴${S}_{△{F}_{1}{F}_{2}B}$=$\frac{1}{2}×2c×b$=bc≤$\sqrt{2}$，此時(shí)取等號(hào)時(shí)，b=1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．