14．已知x＞1，y＞1，xy=e，則xlny的最大值是${e}^{\frac{1}{4}}$．

分析 令t=xlny，取對(duì)數(shù)可得lnt=lnx•lny，由基本不等式可得．

解答 解：令t=xlny，則lnt=lnxlny=lnx•lny，
∵x＞1，y＞1，xy=e，∴l(xiāng)nx＞0，lny＞0，
∴由基本不等式可得lnt=lnx•lny≤（$\frac{lnx+lny}{2}$）2
=（$\frac{lnxy}{2}$）2=$\frac{1}{4}$，故t≤${e}^{\frac{1}{4}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)lnx=lny即x=y=$\sqrt{e}$時(shí)取等號(hào)，
故答案為：${e}^{\frac{1}{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，涉及基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．

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