Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，公比q＞0，S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列，
∴2（S₃+a₃）=S₂+a₂+S₁+a₁，
∴$2{a}_{1}（1+q+2{q}^{2}）$=a₁（3+2q），
化為q²=$\frac{1}{4}$，q＞0．
解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．