Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{4}$，求a_n．

Answer 1

分析 可判斷a_n＞0恒成立，從而化簡可得$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，從而判斷出數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以1為首項，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，從而解得．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{4}$，a₁=1＞0，
∴a_n＞0恒成立，
a_n+1=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{4}$=（$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$）²，
即$\sqrt{{a}_{n+1}}$²=（$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$）²，
故$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
故數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以1為首項，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
故$\sqrt{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
故a_n=$\frac{（n+1）^{2}}{4}$．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷及構(gòu)造法解數(shù)列通項公式的方法應(yīng)用．