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9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(Sn-1)2=anSn(n∈N*).
(1)求S1,S2,S3的值;
(2)求出Sn及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)bn=(-1)n-1(n+1)2anan+1(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn

分析 (1)由(Sn-1)2=anSn(n∈N*),分別取n=1,2,3即可得出.
(2)由(1)可得:n≥2時(shí),(Sn-1)2=(Sn-Sn-1)Sn(n∈N*).化為:Sn=12Sn1.猜想Sn=nn+1.代入驗(yàn)證即可得出.
(3)bn=(-1)n-1(n+1)2anan+1(n∈N*)=(-1)n-11nn+2=(-1)n-1121n1n+2,對(duì)n分類討論,利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出.

解答 解:(1)∵(Sn-1)2=anSn(n∈N*),
∴n≥2時(shí),(Sn-1)2=(Sn-Sn-1)Sn(n∈N*).
∴n=1時(shí),a112=a21,解得a1=12=S1
n=2時(shí),S212=S212S2,解得S2=23
同理可得:S3=34
(2)由(1)可得:n≥2時(shí),(Sn-1)2=(Sn-Sn-1)Sn(n∈N*).
化為:Sn=12Sn1.(*)
猜想Sn=nn+1
n≥2時(shí),代入(*),左邊=nn+1;右邊=12n1n=nn+1,
∴左邊=右邊,猜想成立,n=1時(shí)也成立.
∴n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=nn+1-n1n=1nn+1,n=1時(shí)也成立.
∴Sn=nn+1,an=1nn+1
(3)bn=(-1)n-1(n+1)2anan+1(n∈N*)=(-1)n-11nn+2=(-1)n-1121n1n+2,
∴n=2k(k∈N*)時(shí),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為
Tn=12[113-1214+1315+…+1n11n+1-1n1n+2]
=121121n+1+1n+2=14-12n+1n+2
n=2k-1(k∈N*)時(shí),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為
Tn=12[113-1214+1315+…-1n11n+1+1n1n+2]
=12112+1n+11n+2=14+12n+1n+2
∴Tn=14+1n1×12n+1n+2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和法”、數(shù)列遞推關(guān)系,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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