Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+b}$（b≠0且b是常數(shù)）．
（1）如果方程f（x）=x有唯一解，求b值．
（2）在（1）的條件下，求證：f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，求負(fù)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程f（x）=x有唯一解，可得b的值；
（2）求導(dǎo)，根據(jù)當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，則f′（x）=$\frac{{（x+b）}^{2}}$＜0在（1，+∞）上恒成立，解得負(fù)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x有唯一解 即$\frac{x}{x+b}$=x有唯一解，
∴x²+（b-1）x=0有唯一解，又b≠0，
∴△=（b-1）²=0解得b=1；
證明：（2）∵由（1）得函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+1}$，
f′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
則f′（x）=$\frac{{（x+b）}^{2}}$＜0在（1，+∞）上恒成立，
且恒有意義，
故$\left\{\begin{array}{l}b＜0\\-b∉（1，+∞）\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}b＜0\\-b≤1\end{array}\right.$
解得：-1≤b＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．