如圖,將邊長為2,有一個銳角為60°的菱形,沿著較短的對角線對折,使得
,為的中點.
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)求三棱錐的體積;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
(1)見解析;(2)1;(3)
【解析】
試題分析:(1)利用線面垂直的判斷定理證明線面垂直,條件齊全.(2)利用棱錐的體積公式求體積.(3)證明線面垂直的方法:一是線面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性質(zhì)定理;三是平行線法(若兩條平行線中的一條垂直于這個平面,則另一條也垂直于這個平面.解題時,注意線線、線面與面面關系的相互轉化.(4)在求三棱柱體積時,選擇適當?shù)牡鬃鳛榈酌,這樣體積容易計算.(5)空間向量將空間位置關系轉化為向量運算,應用的核心是要充分認識形體特征,建立恰當?shù)淖鴺讼,實施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點:一是正確寫出點、向量的坐標,準確運算;二是空間位置關系中判定定理與性質(zhì)定理條件要完備.
試題解析:(Ⅰ)連接,由已知得和是等邊三角形,為的中點,
又邊長為2,
由于,在中,
,
(Ⅱ),
(Ⅲ)解法一:過,連接AE,
,
即二面角的余弦值為.
解法二:以O為原點,如圖建立空間直角坐標系,則
顯然,平面的法向量為
設:平面的法向量,
由,,
∴二面角的余弦值為.
考點:(1)空間中線面垂直的判定;(2)三棱錐的體積公式;(3)利用空間向量證明線線垂直和求夾角.
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省高二下學期期末考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
若復數(shù)滿足 (其中為虛數(shù)單位),則復數(shù)為 ( ).
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省高二下學期期中考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
的展開式中含項的系數(shù)
A.30 B.70 C.90 D.150
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省高二下學期期中考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
個人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省高二上學期期末考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省高二上學期期中考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知雙曲線的右焦點是拋物線的焦點,兩曲線的一個公共
點為,且,則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆福建省晉江市高二下學期期末文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
定義:區(qū)間[x1,x2](x1<x2)的長度為x2-x1,已知函數(shù)y=|的定義域為[a,b],值域為[1,2],則區(qū)間[a,b]的長度的最大值與最小值的差為________.
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