如圖,將邊長為2,有一個銳角為60°的菱形,沿著較短的對角線對折,使得

,的中點.

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)求三棱錐的體積;

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

 

(1)見解析;(2)1;(3)

【解析】

試題分析:(1)利用線面垂直的判斷定理證明線面垂直,條件齊全.(2)利用棱錐的體積公式求體積.(3)證明線面垂直的方法:一是線面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性質(zhì)定理;三是平行線法(若兩條平行線中的一條垂直于這個平面,則另一條也垂直于這個平面.解題時,注意線線、線面與面面關系的相互轉化.(4)在求三棱柱體積時,選擇適當?shù)牡鬃鳛榈酌,這樣體積容易計算.(5)空間向量將空間位置關系轉化為向量運算,應用的核心是要充分認識形體特征,建立恰當?shù)淖鴺讼,實施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點:一是正確寫出點、向量的坐標,準確運算;二是空間位置關系中判定定理與性質(zhì)定理條件要完備.

試題解析:(Ⅰ)連接,由已知得是等邊三角形,的中點,

又邊長為2,

由于,在中,

,

(Ⅱ),

(Ⅲ)解法一:過,連接AE,

,

即二面角的余弦值為.

解法二:以O為原點,如圖建立空間直角坐標系,則

顯然,平面的法向量為

設:平面的法向量,

,

∴二面角的余弦值為.

考點:(1)空間中線面垂直的判定;(2)三棱錐的體積公式;(3)利用空間向量證明線線垂直和求夾角.

 

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