Question

11．已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，有f（x+3）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，3）時，f（x）=log₄（x+1），給出下列命題：
①f（2015）＞f（2014）；                  
②函數(shù)f（x）在定義域上是周期為3的函數(shù)；
③直線x-3y=0與函數(shù)f（x）的圖象有2個交點；        
④函數(shù)f（x）的值域為[0，1）．
其中不正確的命題個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的奇偶性，及當(dāng)x≥0時，有f（x+3）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，3）時，f（x）=log₄（x+1），畫出函數(shù)的圖象，逐一分析四個結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，有f（x+3）=-f（x），當(dāng)x∈[0，3）時，f（x）=log₄（x+1），
故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：f（2015）=f（5）=-f（2），f（2014）=f（4）=-f（1），f（2015）＜f（2014）；故①不正確；
函數(shù)f（x）在定義域上不是周期函數(shù)，故②錯誤；
直線x-3y=0與函數(shù)f（x）的圖象有1個交點，故③錯誤；
函數(shù)f（x）的值域為（-1，1），故④不正確；
故選：D．

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)已知畫出滿足條件的函數(shù)圖象是解答的關(guān)鍵．