Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線上任一點(diǎn)，且

PF1

•

PF2

最小值的取值范圍是[-

3

4

c2，-

1

2

c2]，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（　�。�

• A、(1，

  2

  ]
• B、[

  2

  ，2]
• C、(1，

  2

  ]
• D、[2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（m，n），代入雙曲線方程，又設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理結(jié)合雙曲線方程和性質(zhì)，可得

PF1

•

PF2

最小值為a²-c²．再由條件結(jié)合離心率公式，解不等式，即可得到離心率范圍．

解答： 解：設(shè)P（m，n），則

m2

a2

-

n2

b2

=1，
即有m²=a²（1+

n2

b2

），
又設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
即有

PF1

=（-n，-m-c），

PF2

=（-n，c-m），
則

PF1

•

PF2

=n²+m²-c²=n²+a²（1+

n2

b2

）-c²
=n²（1+

a2

b2

）+a²-c²≥a²-c²．（當(dāng)n=0時(shí)取得等號(hào)）．
則有

PF1

•

PF2

最小值為a²-c²．
由題意可得-

3

4

c²≤a²-c²≤-

1

2

c²，
即有

1

4

c²≤a²≤

1

2

c²，
即

1

2

c≤a≤

2

2

c，
則有

2

≤e≤2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理能力，屬于中檔題．