Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；

（2）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）f （x）在定義域上是奇函數(shù)；（2） m的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）判斷奇偶性，首先求定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.然后再看是滿足還是.若滿足，則是奇函數(shù)；若滿足，則為偶函數(shù).（2）對(duì)不等式，應(yīng)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為普通不等式.所以首先利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性.由于，當(dāng)或時(shí)，恒成立，所以在上是減函數(shù)，因?yàn)閤∈[2,4]且m>0，所以，由得，即m<（x＋1）（x－1）（7－x）在恒成立．設(shè)g（x）＝（x＋1）（x－1）（7－x），，這樣即可.

試題解析：（1）由，得且，

∴函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020606022370843951/SYS201502060602398340297776_DA/SYS201502060602398340297776_DA.020.png">， 1分

當(dāng)時(shí)，， 2分

， 3分

所以， 4分

∴f （x）在定義域上是奇函數(shù)； 5分

（2）由于，

當(dāng)或時(shí)，恒成立，

所以在上是減函數(shù)， 6分

因?yàn)閤∈[2,4]且m>0，所以， 7分

由及在上是減函數(shù)，

所以， 8分

因?yàn)閤∈[2,4]，所以m<（x＋1）（x－1）（7－x）在恒成立． 9分

設(shè)g（x）＝（x＋1）（x－1）（7－x），，則g（x）＝－x3＋7x2＋x－7， 10分

所以g′（x）＝－3x2＋14x＋1＝－32＋，

所以當(dāng)時(shí)，g′（x）>0 ．

所以y＝g（x）在上是增函數(shù)，g（x）min＝g（2）＝15 ． 11分

綜上知符合條件的m的取值范圍是． 12分

考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.