Question

【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C（x）萬元，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，C（x）＝x2＋10x（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時，C（x）＝51x＋－1 450（萬元）．通過市場分析，若每件售價為500元時，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完．

（1）寫出年利潤L（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；

（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）；

（2）產(chǎn)量為100千件時，所獲利潤最大．

【解析】

試題分析：（1）分兩種情況進(jìn)行研究：當(dāng)時，投入的成本為萬元），根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)時，投入成本為 （萬元），根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；（2）根據(jù)年利潤的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)時，利用二次函數(shù)求最值；當(dāng)時，利用基本不等式求解最值，最后比較兩個最值，即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）當(dāng)0<x<80，x∈N*時，

L（x）＝－x2－10x－250＝－x2＋40x－250；

當(dāng)x≥80，x∈N*時，

L（x）＝－51x－＋1 450－250＝1 200－（x＋），

∴

（2）當(dāng)0<x<80，x∈N*時，L（x）＝－（x－60）2＋950，

∴當(dāng)x＝60時，L（x）取得最大值L（60）＝950．

當(dāng)x≥80，x∈N*時，L（x）＝1 200－（x＋），

∴當(dāng)x＝，即x＝100時，L（x）取得最大值L（100）＝1 000>950．

綜上所述，當(dāng)x＝100時，L（x）取得最大值1 000，

即年產(chǎn)量為100千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大．