Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，點(diǎn)M（a，0），N（0，b），O（0，0），且△OMN的面積為1．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)A，B是x軸上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)A（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）在橢圓C內(nèi)，點(diǎn)B在橢圓C外．若過點(diǎn)B作斜率不為0的直線與C相交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足∠PAB+∠QAB＝180°．證明：點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)之積為定值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）見解析

【解析】

（1）由題意離心率的值及三角形OMN的面積和a，b，c之間的關(guān)系求出a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；

（2）作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性可知∠PAB＝∠AB，∠QBA＝∠BA，所以，A，Q三點(diǎn)共線，設(shè)Q，A，B的坐標(biāo)，設(shè)直線Q的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，因?yàn)椤?/span>QBA＝∠BA，所以，求出兩條直線的斜率，求出A，B的乘積為定值．

解：（1）由題意可得：，解得：a2＝4，b2＝1，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2＝1；

（2）證明：作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性可知，

點(diǎn)在橢圓上，且∠PAB＝∠AB，∠QBA＝∠BA，

因?yàn)椤?/span>PAB+∠QAB＝180°．所以∠AB+∠QAB＝180°，

所以，A，Q三點(diǎn)共線，

由題意可知直線Q不與x軸平行或重合，設(shè)直線Q的方程為：x＝ty+m，（mt≠0），

設(shè)，

聯(lián)立直線與橢圓的方程：，消x可得，

則有y1+y2，y1y2，

因?yàn)椤?/span>QBA＝∠BA，所以，即，

所以，

即

即，

解得，

因?yàn)?/span>，所以，

故點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)之積為定值4．